Question

有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池，截去的小正方形的边长x为______m时，蓄水池的容积最大．

Answer 1

设蓄水池的底面边长为a，则a=6-2x，
则蓄水池的容积为：V（x）=x（6-2x）²．
得V'（x）=12x²-48x+36．
令V'（x）=12x²-48x+36＞0，
解得x＜1或x＞3；
令V'（x）=12x²-48x+36＜0，解得1＜x＜3．
∵函数V（x）的定义域为x∈（0，3），
∴函数V（x）的单调增区间是：（0，1）；函数V（x）的单调减区间是：（1，3）．
令V'（x）=12x²-48x+36=0，
得x=1或x=3（舍）．
并求得V（1）=16．
由V（x）的单调性知，16为V（x）的最大值．
故截去的小正方形的边长x为 1m时，蓄水池的容积最大，其最大容积是16m³．
故答案为：1．