Question

18．在△ABC中，BC=2，AC-AB=1，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，BC=2，AC-AB=1，△ABC的面积为，由余弦定理的4=b²+c²-2bccosA…①
b²+c²-2bc=1…②，$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$…③
由①②③得：cosA，sinA，bc

解答 解：在△ABC中，BC=2，AC-AB=1，△ABC的面积为，由余弦定理的4=b²+c²-2bccosA…①
b²+c²-2bc=1…②，$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$…③
由①②③得：$\frac{1-cosA}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{4}$⇒tan$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$⇒cosA=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{A}{2}}=\frac{13}{19}$，sinA=$\frac{2tan\frac{A}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{A}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{19}$，bc=$\frac{19}{4}$，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bc×cosA=$\frac{13}{4}$．
故答案为：$\frac{13}{4}$

点评 本题考查了解三角形的运算，及向量运算，属于难题．