Question

已知函数f（x）=x²-ax+a（a∈R） 同时满足：①函数f（x）有且只有一个零点；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n） （n∈N^*）
（1）求f（x）和a_n；
（2）在各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为数列{c_n}的变号数．令c_n=1-

4

an

，求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

分析：（1）由①函数f（x）有且只有一个零点可得△=0；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，存在大于0的单调递减区间，即对称轴

a

2

＞0．即可得出a的取值范围；即可得出f（n）=S_n，再利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）即可得出a_n．
（2）由（1）可得c_n，解出c_nc_n+1＜0即可得出数列{c_n}的变号数．

解答：解：（1）∵函数f（x）同时满足：①函数f（x）有且只有一个零点；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
∴

△=a2-4a=0 a 2 ＞0

，解得a=4．
∴f（x）=x²-4x+4．
Sn=f(n)=n2-4n+4．
当n=1时，a₁=S₁=1-4n+4=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5．
∴an=

1，n=1 2n-5，n≥2

．
（2）①n=1时，c1=1-

4

a1

=1-4=-3，c2=1-

4

a2

=1-

4

(2×2-5)

=5，此时c₁c₂＜0，因此n=1满足条件；
②n≥2时，c_n•c_n+1=(1-

4

an

)(1-

4

an+1

)=

2n-9

2n-5

•

2n-7

2n-3

＜0?（2n-3）（2n-5）（2n-7）（2n-9）＜0，n∈N^*，解得n=2，4．
综上可知：数列{c_n}的变号数是3．

点评：本题综合考查了二次函数的零点、单调性、数列a_n与S_n的关系、新定义（变号数）、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．