Question

设A、B是抛物线y²=x上的两点，O为原点，且OA⊥OB，则直线AB必过定点

 

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Answer 1

分析：联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得y=kx-k=k（x-1），显然直线恒过（1，0），注意对直线的斜率的讨论．

解答：解：设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（1）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．（2分）
联立方程得：

y=kx+b y2=x

消去y得k²x²+（2kb-1）x+b²=0
由题意：x1x2=

b2

k2

，y₁y₂=

b

k

（5分）
又因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
即

b2

k2

+

b

k

=0，
解得b=0（舍去）或b=-k（9分）
故直线l的方程为：y=kx-k=k（x-1），故直线过定点（1，0）（11分）
（2）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0
联立方程得：

x=m y2=x

解得 y=±

m

，即y₁y₂=-m
又因为OA⊥OB，所以可得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-m=0，解得m=0（舍去）或m=1
可知直线l方程为：x=1，故直线过定点（1，0）
综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（1，0）．
故答案为：（1，0）．

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点与直线的设法等问题，属于中档题型．