精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.

求椭圆的方程;

设椭圆的上顶点为,过点作椭圆的两条动弦,若直线斜率之积为,直线是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由.

 

(1);(2)恒过一定点.

【解析】

试题分析:(1)可设椭圆方程为,因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合,所以,又,所以,又因,得,所以椭圆方程为

(2)由(1)知,当直线的斜率不存在时,可设,设,则

易得,不合题意;故直线的斜率存在.设直线的方程为:,(),并代入椭圆方程,得: ①,设,则是方程①的两根,由韦达定理,由,利用韦达定理代入整理得,又因为,所以,此时直线的方程为,即可得出直线的定点坐标.

(1)由题意可设椭圆方程为,

因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合,所以

,所以

又因,得

所以椭圆方程为

(2)由(1)知

当直线的斜率不存在时,设,设,则

,不合题意.

故直线的斜率存在.设直线的方程为:,(),并代入椭圆方程,得:

,则是方程①的两根,由韦达定理

得:

,整理得

又因为,所以,此时直线的方程为.

所以直线恒过一定点

考点:椭圆的标准方程;圆锥曲线的定点问题.

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省合肥市高三第二次教学质量检测理科数学试卷(解析版) 题型:填空题

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数).以为极点,射线为极轴的极坐标系中,曲线的方程为,曲线交于两点,则线段的长度为___________.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“皖西七校”高三年级联合考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题

已知是两个不同的平面,下列四个条件中能推出的是( )

①存在一条直线

②存在一个平面

③存在两条平行直线

④存在两条异面直线.

A.①③ B.②④ C.①④ D.②③

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“皖西七校”高三年级联合考试文科数学试卷(解析版) 题型:填空题

命题“”的否定是.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“皖西七校”高三年级联合考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题

在右图的程序中所有的输出结果之和为( )

A.30 B.16 C.14 D.9

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“江淮十校协作体”四月联考卷理科数学试卷(解析版) 题型:填空题

已知数列满足,给出下列命题:

①当时,数列为递减数列

②当时,数列不一定有最大项

③当时,数列为递减数列

④当为正整数时,数列必有两项相等的最大项

请写出正确的命题的序号____

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“江淮十校协作体”四月联考卷理科数学试卷(解析版) 题型:选择题

如图,一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截,截面是一个椭圆,当时,这个椭圆的离心率为( )

A. B. C. D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“江淮十校协作体”四月联考卷文科数学试卷(解析版) 题型:填空题

给出右边的程序框图,那么输出的数是_______

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“江南十校”高三第二次模拟考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题

,则复数的模是( )

A. B. C. D.

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案