已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.
求椭圆的方程;
设椭圆的上顶点为,过点作椭圆的两条动弦,若直线斜率之积为,直线是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由.
(1);(2)恒过一定点.
【解析】
试题分析:(1)可设椭圆方程为,因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合,所以,又,所以,又因,得,所以椭圆方程为;
(2)由(1)知,当直线的斜率不存在时,可设,设,则,
易得,不合题意;故直线的斜率存在.设直线的方程为:,(),并代入椭圆方程,得: ①,设,则是方程①的两根,由韦达定理,由,利用韦达定理代入整理得,又因为,所以,此时直线的方程为,即可得出直线的定点坐标.
(1)由题意可设椭圆方程为,
因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合,所以,
又,所以,
又因,得,
所以椭圆方程为;
(2)由(1)知,
当直线的斜率不存在时,设,设,则,
,不合题意.
故直线的斜率存在.设直线的方程为:,(),并代入椭圆方程,得:
①
由得 ②
设,则是方程①的两根,由韦达定理
,
由得:
,
即,整理得
,
又因为,所以,此时直线的方程为.
所以直线恒过一定点
考点:椭圆的标准方程;圆锥曲线的定点问题.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省合肥市高三第二次教学质量检测理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,射线为极轴的极坐标系中,曲线的方程为,曲线与交于两点,则线段的长度为___________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“皖西七校”高三年级联合考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知是两个不同的平面,下列四个条件中能推出的是( )
①存在一条直线;
②存在一个平面;
③存在两条平行直线;
④存在两条异面直线.
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“皖西七校”高三年级联合考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
在右图的程序中所有的输出结果之和为( )
A.30 B.16 C.14 D.9
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“江淮十校协作体”四月联考卷理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
已知数列满足,给出下列命题:
①当时,数列为递减数列
②当时,数列不一定有最大项
③当时,数列为递减数列
④当为正整数时,数列必有两项相等的最大项
请写出正确的命题的序号____
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省“江淮十校协作体”四月联考卷理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图,一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截,截面是一个椭圆,当为时,这个椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
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