Question

向量

a

， 

b

， 

c

满足：|

a

|=1，|

b

|=2，|

c

|=3，

a

与

b

夹角为60°．则|

a

+

b

+

c

|的最小值为（　　）

• A、3-

  7

• B、3-

  3

• C、3+

  7

• D、3+

  3

Answer 1

分析：先利用条件设出各个点的坐标，把所求向量的长度转化为用点的坐标表示，再借助于三角函数的值域即可求出结论．

解答：解：由题得可设

b

=（2，0），

a

=（

1

2

，

3

2

），

c

=（3cosθ，3sinθ）
∴

a

+

b

+

c

=（

5

2

+3cosθ，

3

2

+sinθ）．
∴|

a

+

b

+

c

|=

( 5 2 +3cosθ)2+( 3 2 +3sinθ)2

=

16+15cosθ+3 3 sinθ

=

16+6 7 sin(θ+α)

，
当sin（θ+α）=-1时，|

a

+

b

+

c

|取最小值，此时|

a

+

b

+

c

|=

16-6 7

=

(3- 7 )2

=3-

7

．
故选A．

点评：本题主要是借助于三角函数的值域来求向量的长度的最小值．求最小值的办法有多种：①构造函数，根据求函数值域（最值）的办法解答；②利用基本不等式；③利用线性规划．等等，解题时我们要根据题目中已知的条件，选择转化的方向．