Question

已知函数
（1）求函数单调递增区间；
（2）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）求导函数，解不等式，其解集和定义域求交集，得函数的单调递增区间，该题中，不等式不易解出，但是可观察到当且时恒成立，故函数在整个定义域内单调递增；（2）由题知只需，即
问题转化为求函数在的值域问题，观察得，当时，；当时，，则，最大值为中的较大者，进而得关于的不等式，再考虑不等式的解集即为实数的取值范围.
试题解析：⑴．
，所以在上是增函数，
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为
⑶因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可．
又因为，，的变化情况如下表所示：

	减函数	极小值	增函数

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值
，的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；