Question

【题目】在平面直角坐标系中，过动点作直线的垂线，垂足为，且满足，其中为坐标原点，动点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）过点作与轴不平行的直线，交曲线于，两点，点，记，，分别为，，的斜率，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

解法一：（I）用x,y分别表示，结合，构造等式，即可。（II）设出直线l的方程，代入抛物线方程，设出M,N的坐标，结合根与系数关系，计算，即可。解法二：（I）设出P,Q坐标，结合，建立方程，即可。（II）设出直线l的方程，代入抛物线方程，设出M,N的坐标，结合根与系数关系，计算，即可。解法三（I）利用向量数量积关系，建立方程，计算结果，即可。（II）与解法一、二相同。

解法一：

（Ⅰ）设，则，

，，.

∵，

∴，

代入整理得，

曲线的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，，

联立，

整理得，

设，，

则，

∵，，

∴

，

∴为定值.

解法二：（Ⅰ）设，则，

∴，，

∵，

∴.

整理得，

曲线的方程为.

（Ⅱ）依题意得，直线的方程为，，

联立，

整理得，

设，，

则，

∵，，

∴

，

∴为定值.

解法三：（Ⅰ）设，则，

∴，，

∵，

∴.

整理得，

曲线的方程为.

（Ⅱ）同解法一，解法二.