Question

（2010•孝感模拟）已知函数：（1）f(x)=

1

x

，(2)f(x)=

1

3

x3-x；(3)f(x)=cosx；（4）f(x)=

1

2

ex-x；（5）f（x）=log₂x
其中f（x）对于区间（0，1）上的任意两个值x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立的函数序号是

（2）（3）（4）

（请把你认为正确的函数序号都填上）．

Answer 1

分析：首先分析题目要求满足：“对于区间（0，1）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函数，即找满足在（0，1）上任意两点的斜率对值小于等于1的函数．

解答：解：对于（1）：f(x)=

1

x

，|f（x₂）-f（x₁）|=|

1

x1

-

1

x2

|=|

x2-x1

x1x2

|＞|x₂-x₁|（因为x₁，x₂在区间（0，1）上，故x₁x₂小于1），故不符合题意；
对于（2）：f（x）=

1

3

x³-x，|f（x₁）-f（x₂）|=|

1

3

x₁³-x₁-

1

3

x₂³+x₂|=|x₁-x₂|•|

1

3

（x₁²+x₁x₂+x₂²）-1|≤|x₁-x₂|成立，故符合题意；
对于（3）：f（x）=cosx，|f（x₁）-f（x₂）|=|cosx₁-cosx₂|≤|x₁-x₂|，可根据在（0，1）上任意两点的斜率绝对值小于等于1可知成立，故符合题意；
对于（4）：f（x）=

1

2

ex-x，可根据在（0，1）上任意两点的斜率对值小于等于1，可知|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，故符合题意；
对于（5）：f（x）=log₂x，可根据在（0，1）上任意两点的斜率对值大于1，可知|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|不成立，故不符合题意；
故答案为：（2）（3）（4）

点评：本题主要考查绝对值不等式的应用问题，对于此类型的题目需要对题目选项一个一个做分析，然后用排除法作答即可．属于中档题．