Question

已知B（-3，0），C（3，0），△ABC中BC边上的高为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：分类讨论,直线与圆

分析：设出点H的坐标为（x，y），得A点的坐标为（x，3）或（x，-3）；讨论A的坐标为（x，3）时，由AB⊥CH，k_AB•k_CH=-1，求出H点的轨迹方程；同理A的坐标为（x，-3）时，求出H点的轨迹方程．

解答： 解：设H的坐标为（x，y），则A点的坐标为（x，3）或（x，-3）；
当A的坐标为（x，3）时，
∵AB⊥CH，∴k_AB•k_CH=-1，
即

3-0

x-(-3)

•

y-0

x-3

=-1（x≠±3），
化简，得y=-

1

3

x²+3（x≠±3）；
当x=±3时，y=0，也适合此方程，
∴方程y=-

1

3

x²+3是所求的轨迹方程；
当A的坐标为（x，-3）时，同理可得H点的轨迹方程为y=

1

3

x²-3；
综上，△ABC的垂心H的轨迹方程是y=-

1

3

x²+3或y=

1

3

x²-3．

点评：本题考查了求点的轨迹方程的问题，解题时应分类讨论，以便求出点的轨迹方程，是中档题．