Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0，|θ|＜

π

2

）图象的对称中心与函数g（x）=tan（x+ϕ）图象的对称中心完全相同，且当x=

π

6

时，函数f（x）取得最大值，则函数f（x）的解析式是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：依题意，知f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0）的周期与g（x）=tan（x+ϕ）的周期相同，从而可求得ω=2；继而可求得θ，从而可得函数y=f（x）的解析式．

解答： 解：设f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0）的周期为T，则T=

2π

ω

；
∵函数g（x）=tan（x+ϕ）的周期为π，图象的对称中心为（

kπ

2

+ϕ，0），
函数f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0，|θ|＜

π

2

）图象的对称中心与函数g（x）=tan（x+ϕ）图象的对称中心完全相同，
∴

1

2

T=

π

2

，即T=

2π

ω

=π（y=f（x）与y=g（x）的周期相同），解得ω=2；
又当x=

π

6

时，函数f（x）取得最大值2，
∴2×

π

6

+θ=2kπ+

π

2

，k∈Z．
∴θ=2kπ+

π

6

，k∈Z．
又|θ|＜

π

2

，
∴θ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
故答案为：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．

点评：本题考查三角函数解析式的确定，着重考查正切函数与正弦函数的周期性与对称性，求得ω=2是难点，也是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．