Question

19．证明：若函数y=f（x），x∈R满足f（x）=f（x-a）+f（x+a）（常数a∈R₊），则f（x）是周期函数，且6a是它的一个周期．

Answer 1

分析 由f（x）=f（x-a）+f（x+a）得f（x+a）=f（x）+f（x+2a），两式相加得f（x+2a）=-f（x-a），令x取x+a、x+3a分别化简，由函数的周期性的定义即可证明结论成立．

解答 证明：因为f（x）=f（x-a）+f（x+a），
所以f（x+a）=f（x）+f（x+2a），
两式相加得，f（x+2a）=-f（x-a），
令x取x+a得，f（x+3a）=-f（x），
令x取x+3a得，f（x+6a）=f（[x+3a）+3a]=-f（x+3a）=f（x），
即f（x+6a）=f（x），又常数a∈R₊，
所以f（x）是周期函数，且周期为6a．

点评 本题考查函数周期性的定义以及判断，考查赋值法的应用，化简、变形能力，属于中档题．