【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)是否存在一个正实数,满足当
时,
恒成立,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)时,
的增函数区间为
,无减函数区间;
时,
的增函数区间为
,减函数区间为
;
时,
的增函数区间为
,减函数区间为
;(2)存在,
.
【解析】
(1)根据题意,分析函数定义域,求导,分类讨论参数不同的取值范围时函数单调性,即可求解;
(2)根据题意,,由(1)知
的最大值为
,若对任意实数
,
恒成立,只须使
即可.又因为
,所以不等式
等价于:
,即:
,设
,对
求导,分析单调性,讨论
的范围,判断不等式成立条件.
(1)函数的定义域为
,
①若在
上为增函数;
②若,∵
,∴当
时,
;当
时,
;
所以在
上为增函数,在
上为减函数;
③若,∵
,∴当
时,
;当
时,
;
所以在
上为减函数,在
为增函数
综上可知,时,
的增函数区间为
,无减函数区间;
时,
的增函数区间为
,减函数区间为
;
时,
的增函数区间为
,减函数区间为
;
(2)由(1)知,时,
的最大值为
,
若对任意实数,
恒成立,只须使
即可.
又因为,所以不等式
等价于:
,
即:,
设,则
,
∴当时,
;当
时,
所以,在
上为减函数,在
上为增函数,
∴当时,
,不等式
不成立,
当时,
,不等式
不成立,
当时,
,不等式
成立,
∴存在正实数且
时,满足当
时,
恒成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是( )
A.12个月的PMI值不低于50%的频率为
B.12个月的PMI值的平均值低于50%
C.12个月的PMI值的众数为49.4%
D.12个月的PMI值的中位数为50.3%
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法正确的是( )
A.回归直线至少经过其样本数据
中的一个点
B.从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时,我们就说如果某人吃地沟油,那么他有99%可能患胃肠癌
C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高
D.将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后,其方差也要加上或减去这个常数
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