Question

已知曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．证明：点F在直线BD上．

Answer 1

（Ⅰ）解：根据题意知，C上每一点到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．
所以，曲线C上每一点在开口向右的抛物线上，
其中p=2，所以抛物线方程为y²=4x．
又因为曲线C在y轴的右边，所以，曲线C的方程为y²=4x（x＞0）．
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（x₁，-y₁），l的方程为x=my-1（m≠0）．
将x=my-1代入y²=4x，整理得y²-4my+4=0，
∴从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
直线BD的方程为，即，
令y=0，得，所以点F（1，0）在直线BD上．
分析：（Ⅰ）根据C上每一点到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，利用抛物线的定义，可求曲线C的方程；
（Ⅱ）设出A，B，D的坐标，l的方程代入y²=4x，利用韦达定理，进而确定直线BD的方程，由此即可证得结论．
点评：本题考查抛物线的定义，考查曲线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是正确运用抛物线的定义，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求解．