Question

18．已知函数f（x）=$\frac{ln（ex）}{x}$，g（x）=$\frac{3}{8}$x²-2x+1+xf（x）．
（1）证明f（x）≤1在其定义域内恒成立；
（2）若函数y=g（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最大值，即可得证；
（2）先把f（x）代入g（x）=$\frac{3}{8}$x²-2x+1+xf（x），求出g（x）解析式，再利用导数求极大值点与极小值点．可求出数列的几个单调区间，分别考虑函数在每个单调区间上是否有零点，即可求出[e^t，+∞）（t∈Z）的可能情况，进而，求t的最大值．

解答 解：（1）证明：函数f（x）=$\frac{ln（ex）}{x}$的导数为$\frac{1-（1+lnx）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
可得当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=1处，f（x）取得极大值，且为最大值1，
即有f（x）≤1在其定义域内恒成立；
（2）由题知：g（x）=$\frac{3}{8}$x²+lnx+2-2x的定义域为（0，+∞），
∵g′（x）=$\frac{（3x-2）（x-2）}{4x}$，
∴函数g（x）的单调递增区间为（0，$\frac{2}{3}$]和[2，+∞），
g（x）的单调递减区间为[$\frac{2}{3}$，2]，
所以x=$\frac{2}{3}$为F（x）的极大值点，x=2为F（x）的极小值点．
∵g（x）在x∈[$\frac{2}{3}$，+∞）上的最小值为g（2）
且g（2）=$\frac{3}{8}$×2²-4+2+ln2=ln2-$\frac{1}{2}$=$\frac{ln4-1}{2}$＞0
∴g（x）在x∈[$\frac{2}{3}$，+∞）上没有零点，
由函数g（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，
并考虑到g（x）在（0，$\frac{2}{3}$]单调递增且在[$\frac{2}{3}$，2]单调递减，
故只须e^t＜$\frac{2}{3}$且g（e^t）≤0即可，
易验证g（e^-1）=$\frac{3}{8}$•e^-2+1-2e^-1＞0，
g（e^-2）=$\frac{3}{8}$•e^-4+lne^-2+2-2e^-2=$\frac{1}{{e}^{2}}$（$\frac{3}{8}$•e^-2-2）＜0，
当t≤-2且t∈Z时均有g（e^t）＜0，
函数g（x）在[e^t，e^-1）（t∈Z）上有零点，
可得t的最大值为-2．

点评 本题考查了利用导数求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立的问题，同时考查函数的零点问题的解法，属于中档题．