Question

（2013•宁德模拟）已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为

2

2

，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x-2y-2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点A（0，2）可得b值，由离心率为

2

2

可得

c

a

=

2

2

，再由a²=b²+c²，联立方程组即可求得a，b值；
（II）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x-2y-2=0相切，根据以AM为直径的圆C过点F可得∠AFM=90°，求出直线MF方程，联立直线MF方程与椭圆方程可得求得M坐标，利用直线与圆相切的条件d=r分情况验证圆与直线x-2y-2=0相切即可；

解答：解：（Ⅰ）依题意得

b=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得

a=2 2 b=2 c=2

，
所以所求的椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x-2y-2=0相切，
因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又kAF=

2-0

0-2

=-1，所以直线MF的方程为y=x-2，
由

y=x-2 x2 8 + y2 4 =1

消去y，得3x²-8x=0，解得x=0或x=

8

3

，
所以M（0，-2）或M（

8

3

，

2

3

），
（1）当M为（0，-2）时，以AM为直径的圆C为：x²+y²=4，
则圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d=

|0-2×0-2|

12+(-2)2

=

2

5

5

≠

2 5

3

，
所以圆C与直线x-2y-2=0不相切；
（2）当M为（

8

3

，

2

3

）时，以AM为直径的圆心C为（

4

3

，

4

3

），半径为r=

1

2

|AM|=

1

2

( 8 3 )2+( 2 3 -2)2

=

2 5

3

，
所以圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d=

| 4 3 - 8 3 -2|

5

=

2 5

3

=r，
所以圆心C与直线x-2y-2=0相切，此时k_AF=

2 3 -2

8 3 -0

=-

1

2

，所以直线l的方程为y=-

1

2

x+2，即x+2y-4=0，
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y-4=0．

点评：本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．