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(2013•宁德模拟)已知椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)过点A(0,2),离心率为
2
2
,过点A的直线l与椭圆交于另一点M.
(I)求椭圆Γ的方程;
(II)是否存在直线l,使得以AM为直径的圆C,经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x-2y-2=0相切?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)由点A(0,2)可得b值,由离心率为
2
2
可得
c
a
=
2
2
,再由a2=b2+c2,联立方程组即可求得a,b值;
(II)假设存在直线l,使得以AM为直径的圆C,经过椭圆后的右焦点F且与直线x-2y-2=0相切,根据以AM为直径的圆C过点F可得∠AFM=90°,求出直线MF方程,联立直线MF方程与椭圆方程可得求得M坐标,利用直线与圆相切的条件d=r分情况验证圆与直线x-2y-2=0相切即可;
解答:解:(Ⅰ)依题意得
b=2
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
,解得
a=2
2
b=2
c=2

所以所求的椭圆方程为
x2
8
+
y2
4
=1

(Ⅱ)假设存在直线l,使得以AM为直径的圆C,经过椭圆后的右焦点F且与直线x-2y-2=0相切,
因为以AM为直径的圆C过点F,所以∠AFM=90°,即AF⊥AM,
kAF=
2-0
0-2
=-1,所以直线MF的方程为y=x-2,
y=x-2
x2
8
+
y2
4
=1
消去y,得3x2-8x=0,解得x=0或x=
8
3

所以M(0,-2)或M(
8
3
2
3
),
(1)当M为(0,-2)时,以AM为直径的圆C为:x2+y2=4,
则圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d=
|0-2×0-2|
12+(-2)2
=
2
5
5
2
5
3

所以圆C与直线x-2y-2=0不相切;
(2)当M为(
8
3
2
3
)时,以AM为直径的圆心C为(
4
3
4
3
),半径为r=
1
2
|AM|
=
1
2
(
8
3
)2+(
2
3
-2)2
=
2
5
3

所以圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d=
|
4
3
-
8
3
-2|
5
=
2
5
3
=r,
所以圆心C与直线x-2y-2=0相切,此时kAF=
2
3
-2
8
3
-0
=-
1
2
,所以直线l的方程为y=-
1
2
x
+2,即x+2y-4=0,
综上所述,存在满足条件的直线l,其方程为x+2y-4=0.
点评:本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解,考查直线与圆的位置关系,考查分类讨论思想,解决探究型问题,往往先假设存在,由此推理,若符合题意,则存在,否则不存在.
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