【题目】已知集合,若对于任意实数对,存在,使成立,则称集合是“垂直对点集” .给出下列四个集合:
① ;
②;
③ ;
④.
其中是“垂直对点集”的序号是( ).
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
【答案】C
【解析】
由题意可得:集合是“垂直对点集”,即满足:曲线上过任意一点与原点的直线,都存在过另一点与原点的直线与之垂直,对①、②、③、④逐个分析即可.
由题意知,若集合是“垂直对点集”,则对于任意,存在,使成立,因此,
①,其图象向左向右和轴无限接近,向上和轴无限接近,据幂函数的图象和性质可知,在图象上任取一点,连,过原点作的垂线必与的图象相交,即一定存在点,使得成立,故是“垂直对点集”;
②,(),取,则不存在点(),满足,因此不是“垂直对点集”;
③,其图象过点,且向右向上无限延展,向左向下无限延展,据指数函数的图象和性质可知,在图象上任取一点A,连OA,过原点作的垂线必与的图象相交,即一定存在点,使得成立,故是“垂直对点集”;
④,在图象上任取一点,连,过原点作直线的垂线,因为的图象沿轴向左向右无限延展,且与轴相切,因此直线总会与的图象相交,故是“垂直对点集”,
综上可得:只有①③④是“垂直对点集”.
故选:C
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【题目】已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名.具体积分规则如表1所示,某代表队四名男生的模拟成绩如表2.
表1 田径综合赛项目及积分规则
项目 | 积分规则 |
米跑 | 以秒得分为标准,每少秒加分,每多秒扣分 |
跳高 | 以米得分为标准,每多米加分,每少米扣分 |
掷实心球 | 以米得分为标准,每多米加分,每少米扣分 |
表2 某队模拟成绩明细
姓名 | 100米跑(秒) | 跳高(米) | 掷实心球(米) |
甲 | |||
乙 | |||
丙 | |||
丁 |
根据模拟成绩,该代表队应选派参赛的队员是:( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
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【题目】如图1,在等腰中,,,分别为,的中点,为的中点,在线段上,且。将沿折起,使点到的位置(如图2所示),且。
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值
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【题目】设F1、F2分别为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点A为椭圆C的左顶点,点B为椭圆C的上顶点,且|AB|=,△BF1F2为直角三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线y=kx+2与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求实数k的值.
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【题目】已知函数(,)的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象,则下列关于函数的命题中正确的是( )
A.函数是奇函数B.的图象关于直线对称
C.在上是增函数D.当时,函数的值域是
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【题目】某产品自生产并投入市场以来,生产企业为确保产品质量,决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测,并依据质量指标来衡量产品的质量.当时,产品为优等品;当时,产品为一等品;当时,产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件,绘制了这500件产品的质量指标的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本,估计该企业生产该产品的质量情况,并用频率估计概率.
(1)从该企业生产的所有产品中随机抽取1件,求该产品为优等品的概率;
(2)现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元,购买前,邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议:从80件产品中随机抽出4件产品进行检测,若检测出3件或4件为优等品,则按每件1600元购买,否则按每件1500元购买,每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为元,求的分布列与数学期望;
(3)商场为推广此款产品,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果,操控机器人在方格上行进,已知硬币出现正、反面的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格.机器人开始在第0格,客户每掷一次硬币,机器人向前移动一次,若掷出正面,机器人向前移动一格(从到),若掷出反面,机器人向前移动两格(从到),直到机器人移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时,游戏结束,若机器人停在“胜利大本营”,则可获得优惠券.设机器人移到第格的概率为,试证明是等比数列,并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品.
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【题目】为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据分成,,,,,,组,得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中,分别为样本平均和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(1)若一个零件的尺寸是,试判断该零件是否属于“不合格”的零件;
(2)工厂利用分层抽样的方法从样本的前组中抽出个零件,标上记号,并从这个零件中再抽取个,求再次抽取的个零件中恰有个尺寸小于的概率.
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【题目】已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的极坐标方程,并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程;
(2)若射线与曲线交于两点,与曲线交于点,且,求的值.
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