Question

【题目】已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解：(1)设圆心C(a，0) ，则＝2a＝0或a＝－5(舍)．

所以圆C：x2＋y2＝4.

(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN＋＝0＋＝02x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0－＋2t＝0t＝4，

所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．