Question

【题目】在数列{an}，{bn}中，已知a1=2，b1=4，且﹣an ， bn ， an+1成等差数列，﹣bn ， an ， bn+1也成等差数列． （Ⅰ）求证：数列{an+bn}和{an﹣bn}都是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=（an﹣3n）log3[an﹣（﹣1）n]，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】（I）证明：∵﹣an ， bn ， an+1成等差数列，﹣bn ， an ， bn+1也成等差数列． ∴bn= ，an= ，
∴an+bn= [（an+1+bn+1）﹣（an+bn）]，即an+1+bn+1=3（an+bn），
又∵a1+b1=1+2=3，∴数列{an+bn}是首项、公比均为3的等比数列；
同理可得：﹣an+bn= [（an+1﹣bn+1）+（﹣an+bn）]，即an+1﹣bn+1=﹣（an﹣bn），
又∵﹣a1+b1=﹣1+2=1，
∴数列{bn﹣an}是首项为1、公比均为﹣1的等比数列，
∴bn﹣an=（﹣1）n+1 ，
又∵bn+an=3n ，
∴an= = [3n﹣（﹣1）n+1]；
（II）解：∵cn=（2an﹣3n）log3[2an﹣（﹣1）n]
=[3n﹣（﹣1）n+1﹣3n]log3[3n﹣（﹣1）n+1﹣（﹣1）n]
=（﹣1）nn，
∴Tn=﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）nn，
﹣Tn=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n（n﹣1）+（﹣1）n+1n，
两式相减得：2Tn=﹣1+1﹣1+1﹣…﹣1﹣（﹣1）n+1n，
∴Tn= { +（﹣1）nn}
【解析】（I）﹣an ， bn ， an+1成等差数列，﹣bn ， an ， bn+1也成等差数列．可得bn= ，an= ，an+bn= [（an+1+bn+1）﹣（an+bn）]，即an+1+bn+1=3（an+bn），即可证明数列{an+bn}是首项、公比均为3的等比数列．同理可得：数列{bn﹣an}是首项为1、公比均为﹣1的等比数列．可得an= ．（II）cn=（2an﹣3n）log3[2an﹣（﹣1）n]=（﹣1）nn，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．