Question

已知条件p：函数f（x）=log₃x-3，（1≤x≤9），设F（x）=f²（x）+f（x²）．
（1）求F（x）的最大值及最小值；
（2）若条件q：“|F（x）-m|＜2”，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=log₃x-3，（1≤x≤9），
∴F（x）=f²（x）+f（x²）
=（log₃x-3）²+log₃x²-3
=log₃²x-4log₃x+6 （1≤x≤3）（3分）
令t=log₃x，则t∈[0，1]，F（x）=t²-4t+6=（t-2）²+2
∴F（x）_max=6，F（x）_min=3．（6分）
（2）|F（x）-m|＜2?m-2＜F（x）＜m+2，
因为p是q的充分条件，∴即4＜m＜5．
∴m的取值范围是4＜m＜5（12分）
分析：（1）把函数f（x）代入F（x），利用换元法转化为二次函数然后求出函数的最大值及最小值；
（2）通过|F（x）-m|＜2，求出F（x）d的范围，利用p是q的充分条件，得到不等式组，然后求实数m的取值范围．
点评：本题是中档题，考查对数函数与二次函数的转化，二次函数闭区间上的最值的求法，考查计算能力．