Question

11．已知正项等比数列{b_n}的前n项和为S_n，b₃=4，S₃=7，数列{a_n}满足a_n+1-a_n=n+1（n∈N⁺），且a₁=b₁．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{b_n}的公比为q，由题意列式求得b₁，得到a₁，利用累加法求得数列{a_n}的通项公式；
（2）直接利用裂项相消法求得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和．

解答 解：（1）由题意，设等比数列{b_n}的公比为q，则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}{q}^{2}=4}\\{{b}_{1}+{b}_{1}q+{b}_{1}{q}^{2}=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$．
又a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}=\frac{{n}^{2}+n}{2}$；
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{{n}^{2}+n}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，是中档题．