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    如图，设P0是抛物线y=x2上一点，且在第一象限．过点P0作抛物线的切线，交x轴于Q1点，过Q1点作x轴的垂线，交抛物线于P1点，此时就称P0确定了P1．依此类推，可由P1确定P2，…．记Pn（xn，yn），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
    ①xn＞0；
    ②数列{xn}是公比为
    14
    的等比数列；
    ③当x0=1时，y0+y1+y2+…+yn＜2．
    其中所有正确结论的序号为
    ①、③
    ①、③
    ．
    分析：通过求导即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程，即可得到xn+1与xn的关系，利用等比数列的通项公式、求和公式即可求出．
    解答：解：求导得：y′=2x，
    ∴在Pn处作曲线C的切线的斜率为2xn，
    则此切线方程为y-yn=2xn（x-xn），即y=2xnx-xn2，
    令y=0，得到x=
    1
    2
    xn，∴Qn+1（
    1
    2
    xn，0），即xn+1=
    1
    2
    xn，
    ∵x1＞0，∴xn＞0，即①正确；
    ∵xn+1=
    1
    2
    xn，∴数列{xn}是公比为
    1
    2
    的等比数列，即②不正确；
    ③当x0=1时，数列{xn}是以1为首项，公比为
    1
    2
    的等比数列，∴数列{yn}是以1为首项，公比为
    1
    4
    的等比数列
    ∴y0+y1+y2+…+yn=
    1-(
    1
    4
    )n
    1-
    1
    4
    ＜
    4
    3
    ＜2，即③正确．
    综上，正确结论的序号为①③．
    点评：本题考查了等比数列的通项公式，曲线上过某点切线方程的斜率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，设P0是抛物线y=x2上一点，且在第一象限．过点P0作抛物线的切线，交x轴于Q1点，过Q1点作x轴的垂线，交抛物线于P1点，此时就称P0确定了P1．依此类推，可由P1确定P2，…．记Pn（xn，yn），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
    ①xn＞0；
    ②数列{xn}为单调递减数列；
    ③对于?n∈N，?x0＞1，使得y0+y1+y2+…+yn＜2．
    其中所有正确结论的序号为
    ①②③
    ①②③
    ．

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