Question

6．已知函数{a_n}满足a_n+1+1=$\frac{{a}_{n}+1}{2{a}_{n}+3}$，且a₁=1，则数列{$\frac{2}{{a}_{n}+1}$}的前20项和为780．

Answer 1

分析 利用数列的递推关系式转化求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，2为公差的等差数列，然后求解所求数列的和即可．

解答 解：由a_n+1+1=$\frac{{a}_{n}+1}{2{a}_{n}+3}$，得$\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+1}=\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}-\frac{1}{{a}_{n}+1}=2$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，2为公差的等差数列，则$\frac{1}{{a}_{n}+1}=2n-\frac{3}{2}$，
∴数列$\{\frac{2}{{a}_{n}+1}\}$是以1为首项，4为公差的等差数列，
其前20项的和为：20+10×19×4=780．
故答案为：780．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．