Question

8．已知关于x的函数y=-2sin²x-2acosx-（2a-1），x∈R，常数a∈R．
（1）求y的最小值f（a）；
（2）求使f（a）=$\frac{1}{2}$的a值，并求出此时函数y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得y=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²-（$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+1），结合二次函数的最值分类讨论可得；
（2）由（1）分别令f（a）=$\frac{1}{2}$，解方程可得a值，代值计算可得最值．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得y=-2sin²x-2acosx-（2a-1）
=-2（1-cos²x）-2acosx-（2a-1）=2cos²x-2acosx-（2a+1）
=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²-（$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+1），
当$\frac{a}{2}$≤-1即a≤-2时，当cosx=-1时函数取最小值f（a）=1；
当$\frac{a}{2}$≥1即a＞2时，当cosx=1时函数取最小值f（a）=1-4a；
当-1＜$\frac{a}{2}$＜1即-2＜a＜2时，当cosx=$\frac{a}{2}$时函数取最小值f（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+1；
综上可得y的最小值f（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1，a≤-2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}+2a+1，-2＜a＜2}\\{1-4a，a＞2}\end{array}\right.$；
（2）当a≤-2时，f（a）=1$≠\frac{1}{2}$；
当a＞2时，令f（a）=1-4a=$\frac{1}{2}$可解得a=$\frac{1}{8}$，舍去；
当-2＜a＜2时，令f（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+1=$\frac{1}{2}$可解得a=-4+3$\sqrt{2}$，或a=-4+3$\sqrt{2}$（舍去）；
故使f（a）=$\frac{1}{2}$的a值为-4+3$\sqrt{2}$，此时函数y的最大值为27-18$\sqrt{2}$

点评 本题考查三角函数的最值，涉及二次函数的最值和分类讨论的思想，属中档题．