Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且在x轴上的顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA₁、PA₂分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由题意得，e=

c

a

=

3

2

，a=2，从而求得b、c的值，从而求得椭圆的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直线方程代入椭圆的方程解出M点、N点坐标，由直线A₁M与直线A₂N的交点P（t，y_p）在直线l上，求出直线MN与x轴交点坐标，从而求得线MN是通过椭圆的焦点的条件．

解答：解：（1）由已知椭圆C的离心率e=

c

a

=

3

2

，a=2，可得 c=

3

，b=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线A₁M斜率为k₁，则直线A₁M的方程为y=k₁（x+2），
由

y=k1(x+2) x2 4 +y2=1

，解得x1=

-8 k 2 1 +2

4 k 2 1 +1

，y1=

4k1

4 k 2 1 +1

，∴M点坐标为（

-8 k 2 1 +2

4 k 2 1 +1

，

4k1

4 k 2 1 +1

）．
同理，设直线A₂N的斜率为k₂则N点坐标为（

8 k 2 2 -2

4 k 2 2 +1

，

-4k2

4 k 2 2 +1

）．
由直线A₁M与直线A₂N的交点P（t，y_p）在直线l上，
又y_p=k₁（t+2），y_p=k₂（t-2），∴k₁（t+2）=k₂（t-2），∴

k1-k2

k1+k2

=-

2

t

．
又MN的方程为

y-y1

x-x1

=

y2-y1

x2-x1

，令y=0，得  x=

x2y1-x1y2

y1-y2

=

4

t

．
即直线MN与x轴交点为(

4

t

，0)，又t＞2，∴0＜

4

t

＜2．
又椭圆右焦点为(

3

，0)，故当 t=

4 3

3

时，MN过椭圆的焦点．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．由于A₁、A₂两点已知，故易求得直线与椭圆的交点M和N的坐标，这样就易求出MN与x轴的交点，在计算过程中要注意计算的技巧．