【题目】命题A:、是方程的两个实根,不等式对任意实数恒成立;命题B:不等式()有解.若A且B为真,求:m的取值范围.
【答案】
【解析】
由韦达定理求出,然后求得,进而求出的取值范围,由已知条件可得,进而求出命题A:对应的m的取值范围。构造函数(),讨论去掉绝对值号求出函数的最大值2m,由不等式()有解得2m>1,进而求出命题B对应的m的取值范围。由A且B为真,可知A、B都为真命题,即可求得结果。
因为、是方程的两个实根,所以,
所以, ,因为,所以,因为不等式对任意实数恒成立,所以,所以或,即或,解得或或。所以,命题A: 或或。
令(),则,结合该函数的性质可知,该函数的最大值为2m,由不等式()有解,可得2m>1,解得 。所以命题B: 。
因为A且B为真,所以 ,所以 或 。
所以,m的取值范围为。
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【题目】某学校高三有名学生,按性别分层抽样从高三学生中抽取名男生,名女生期未某学科的考试成绩,得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图.
(1)试计算男生考试成绩的平均分与女生考试成绩的中位数(每组数据取区间的中点值);
(2)根据频率分布直方图可以认为,男生这次考试的成绩服从正态分布,试计算男生成绩落在区间内的概率及全校考试成绩在内的男生的人数(结果保留整数);
(3)若从抽取的名学生中考试成绩优势(分以上包括分)的学生中再选取名学生,作学习经验交流,记抽取的男生人数为,求的分布列与数学期望.
参考数据,若,则,,.
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【题目】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAB⊥平面ABCD,AB=AP=3,AD=PB=2,E为线段AB上一点,且AE︰EB=7︰2,点F、G分别为线段PA、PD的中点.
(1)求证:PE⊥平面ABCD;
(2)若平面EFG将四棱锥P-ABCD分成左右两部分,求这两部分的体积之比.
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【题目】已知圆锥曲线: (为参数)和定点, , 是此圆锥曲线的左、右焦点.
(1)以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程;
(2)经过且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于, 两点,求的值.
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【题目】已知三个关于x的不等式:①;②;③
(1)分别求出①和②的解集;
(2)若同时满足①和②的x值也满足③,求m的取值范围;
(3)若同时满足③的x至少满足①和②的一个,求m的取值范围.
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【题目】已知函数.
(1)将函数写成分段函数的形式,并作出此函数的图象;
(2)判断函数在上的单调性,并加以证明;
(3)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
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