Question

如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱A₁A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁=2．
（1）求证：平面A₁ACC₁丄平面B₁BDD₁
（2）求四棱锥A-CDD₁C₁的体积．

Answer 1

解：（1）∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，即BD⊥AA₁，
又底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵AC∩AA₁=A，AC?平面A₁ACC₁，AA₁?平面A₁ACC₁，
∴BD⊥平面A₁ACC₁．而BD?平面B₁BDC₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（2）过点A作AH⊥DD₁，交DD₁于点H．
∵AA₁⊥平面ABCD，∴平面A₁ADD₁⊥平面ABCD．
又平面CDD₁C₁∩平面ABCD=AD，CD⊥AD．
∴CD⊥平面A₁ADD₁，∵平面CDD₁C₁∩平面A₁ADD₁=DD₁．
∴AH⊥平面CDD₁C₁．在直角梯形A₁ADD₁中，A₁D₁=1，D₁D=2．AD=2．
∴AH=．∵CD⊥平面A₁ADD₁．CD⊥DD₁．∴四边形CDD₁C₁为直角梯形，
∵C₁D₁=1．CD=D₁D=2．∴四边形CDD₁C₁的面积S=3．
∴四棱锥A-CDD₁C₁的体积．
分析：（1）先证明BD⊥AC，然后证明BD⊥平面A₁ACC₁．即可证明平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（2）过点A作AH⊥DD₁，交DD₁于点H．证明CD⊥平面A₁ADD₁，判断四边形CDD₁C₁为直角梯形，然后求出四棱锥A-CDD₁C₁的体积．
点评：本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．