Question

如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

，∠BDC=60°．
（1）求异面直线AB与CD所成角大小的余弦值．
（2）截面EFGH∥AB，截面EFGH∥CD，求证：截面EFGH为平行四边形．
（3）在（2）条件下，求截面EFGH面积的最大值，并说明理由．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面的基本性质及推论

专题：解三角形,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）让E，H，G三点分别为边BC，BD，AD的中点，则HG∥AB，EH∥CD，所以∠EHG和异面直线AB，CD所成角相等或互补，所以求|cos∠EHG|即可．连接DE，容易说明DG⊥DE，所以根据边的关系及边和角的大小可求出EH，HG，EG，所以在△EHG中根据余弦定理即可求出|cos∠EHG|；
（2）根据线面平行的性质定理，容易得到AB∥HG，同理可得AB∥EF，所以得到HG∥EF，同理可得到截面EFGH的另一组对边EH∥FG，这样便得到截面EFGH的两组对边都平行，即得到截面EFGH是平行四边形；
（3）要求截面EFGH面积的最大值，先表示出该面积S=HG•EH•sin∠EHG，而sin∠EHG由（2）可求出，所以求HG•EH的最大值即可．因为AB∥HG，所以

HG

AB

=

DH

DB

，同理得到

EH

CD

=

BH

BD

，所以

HG

AB

+

EH

CD

=1，而AB，CD由前面可求出，所以根据基本不等式即可求出HG•EH的最大值，从而求出S的最大值．

解答： 解：（1）如图，让点E、H、G分别为边BC、BD、AD的中点，则HG∥AB，EH∥CD，所以求|cos∠EHG|即可；
由已知条件知AD⊥BD，AD=2，BD=2

2

；
∴AB=2

3

，HG=

3

；
又BC⊥CD，∠BDC=60°，∴CD=

2

，BC=

6

，CE=

6

2

；
∴EH=

2

2

，DE=

14

2

；
∵AD⊥平面BCD，DE?平面BCD；
∴AD⊥DE，∴GD⊥DE，GD=1；
∴EG=

1+ 7 2

=

3 2

2

；
∴在△EHG中，|cos∠EHG|=|

HG2+EH2-EG2

2HG•EH

|=|

3+ 1 2 - 9 2

2• 3 • 2 2

|=

6

6

；
（2）∵截面EFGH∥AB，平面ABD∩截面EFGH=HG，AB?平面ABD；
∴AB∥HG，同理AB∥EF；
∴HG∥EF，同理EH∥FG；
∴截面EFGH为平行四边形；
（3）HG∥AB，∴

HG

AB

=

DH

BD

；
EH∥CD，∴

EH

CD

=

BH

BD

；
∴1=

HG

AB

+

EH

CD

=

HG

2 3

+

EH

2

≥2

HG 2 3 • EH 2

；
∴HG•EH≤

6

2

；
∴S_EFGH=HG•EH•sin∠EHG=

30

6

HG•EH≤

30

6

•

6

2

=

5

2

；
即截面EFGH面积的最大值为

5

2

．

点评：考查线面垂直的性质，余弦定理，线面平行的性质定理，以及平行线分线段成比例，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0．