Question

双曲线x²-y²=2008的左、右顶点分别为A₁、A₂，P为其右支上一点，且∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，则∠PA₁A₂等于（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定

Answer 1

【答案】分析：设a²=2008，根据题意可表示A₁，A₂坐标，设出P坐标，则可分别表示出PA₁和PA₂的斜率，二者乘求得 ，根据双曲线方程可知 =1，进而可推断出-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1．从而tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1
最后得出5∠PA₁A₂=-∠PA₁A₂即可求得∠PA₁A₂．
解答：解：设a²=2008，
A₁（-a，0），A₂（a，0），P（x，y），
k_PA1=tan∠PA₁A₂=，①
k_PA2=-tan∠PA₂A₁=，②
由x²-y²=a²得 =1，
①×②，得-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1，
∴tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1
即tan（5∠PA₁A₂）=tan（ -∠PA₁A₂）
∴5∠PA₁A₂=-∠PA₁A₂
∴∠PA₁A₂=
故选A．
点评：本题以双曲线为载体，主要考查了双曲线的简单性质，解析几何的基础知识．题中灵活的利用了双曲线的方程．