Question

如图，已知椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r），（b＞r＞0）。

（1）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（2）设直线y=k₁x与椭圆交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0），直线y=k₂x与椭圆交于G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0），求证：；
（3）对于（2）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|。

Answer 1

解：（1）椭圆方程为
焦点坐标为，
离心率。
（2）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得

整理得

根据韦达定理，得
，，
所以 ①
将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得
②
由 ①、②得=
所以结论成立。
（3）设点P，点Q
由C、P、H共线，得
解得
由D、Q、G共线，同理可得，
由=变形得
=
所以
即。