Question

设a＞0，a≠1，若函数y=a^2x+2a^x-1在区间[-1，1]上的最大值是14，求a的值．

Answer 1

分析：构造函数t=a^x，可转化为y=t²+2t-1，对a分a＞1与0＜a＜1讨论，利用指数函数的单调性即可求得a的值．

解答：解：令t=a^x，则y=t²+2t-1其对称轴为t=-1…（2分）
1）若a＞1，x∈[-1，1]，则t=a^x∈[

1

a

，a]…（4分）
当t=a时，y_max=a²+2a-1=14解得a=3或a=-5（舍去）…（7分）
2）若0＜a＜1，x∈[-1，1]，则t=a^x∈[a，

1

a

]…（9分）
当t=

1

a

是，y_max=(

1

a

)2+2×

1

a

-1=14，解得a=

1

3

或a=-

1

5

（舍去）…（12分）
综上可得a=3或a=

1

3

          …（13分）

点评：本题考查指数函数的单调性的应用，考查构造函数思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．