Question

12．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=AP=2，E是PD的中点．
（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；
（2）求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的大小．
（2）求出平面PCD的法向量，由此利用向量法能求出直线BP与平面PCD所成角的正弦值．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），E（0，1，1），C（1，1，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
设异面直线AE与CD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴异面直线AE与CD所成角的大小为60°．
（2）B（1，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，2），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设直线BP与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1+0+2|}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴直线BP与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．