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如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点,是线段上一点,且.
 
(1)求证://侧面;
(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值;

(1)详见解析;(2).

解析试题分析:解法1:(1)延长于点,根据,利用相似三角形的比例关系,即可证得直线与直线平行,再运用线面平行的判定定理,即可证得结论;
解法2:(1)建立空间直角坐标系,求出侧面的法向量和向量,判断法向量和向量
垂直,即可证得结论;
(2)求出两个半平面的法向量,利用向量的数量积,求出法向量的夹角的余弦值,再利用法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系,即可求得答案;
试题解析:解法1:(1)延长B1E交BC于点F,
∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,
从而点F为BC的中点.
∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,
又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.    5分
(2)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,
又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.
以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,

,,,,,.
∵G为△ABC的重心,∴.,∴,
.又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.    6分
(2)设平面B1GE的法向量为,则由
可取又底面ABC的一个法向量为
设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.
故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.    12分
考点:1.线与面平行的判定;2.利用空间向量求二面角.

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