如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点,是线段上一点,且.
(1)求证://侧面;
(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值;
(1)详见解析;(2).
解析试题分析:解法1:(1)延长交于点,根据,,利用相似三角形的比例关系,即可证得直线与直线平行,再运用线面平行的判定定理,即可证得结论;
解法2:(1)建立空间直角坐标系,求出侧面的法向量和向量,判断法向量和向量
垂直,即可证得结论;
(2)求出两个半平面的法向量,利用向量的数量积,求出法向量的夹角的余弦值,再利用法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系,即可求得答案;
试题解析:解法1:(1)延长B1E交BC于点F,
∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,
从而点F为BC的中点.
∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,
又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. 5分
(2)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,
又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.
以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,
则,,,,,.
∵G为△ABC的重心,∴.,∴,
∴.又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. 6分
(2)设平面B1GE的法向量为,则由得
可取又底面ABC的一个法向量为
设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.
故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为. 12分
考点:1.线与面平行的判定;2.利用空间向量求二面角.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是,边长为的菱形,又,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:DN//平面PMB;
(2)证明:平面PMB平面PAD.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,几何体EABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.
(1)求证:BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.
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