Question

3．如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE是∠BCD=90°的梯形，CD∥BE，AB⊥底面BCDE，BE=4AB=2BC=2CD，点F为AE的中点．
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求异面直线AC与DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明线面平面，转化为证明面面平行即可．点F为AE的中点，取BE中点G，连接FG，DG，证明平面FGD∥平面ABC；可得FD∥平面ABC．
（2）通过转化寻找AC与DE所成角平面角，连接GC，可得DE∥GC，那么异面直线AC与DE所成角为∠ACG，利用余弦定理求解即可．

解答 解：（1）点F为AE的中点，取BE中点G，连接FG，DG，
∴FG∥AB，
BE=2CD，CD∥BE，
∴BG${\;}_{∥}^{=}$CD，
∵∠BCD=90°
∴BCDG是正方形，DG∥BC．
又∵DG?平面FGD，FG?平面FGD，FG∩DG=G，FG∥AB，DG∥BC
∴平面FGD∥平面ABC；
∵FD?平面FGD
∴FD∥平面ABC；
（2）连接GC，BE=2CD，CD∥BE，
∴DE∥GC，
那么异面直线AC与DE所成角为∠ACG，
设AB=a，
∵BE=4AB=2BC=2CD，即BE=4a，BC=2a，CD=2a．
AB⊥底面BCDE，BCDG是正方形，
∴AC=$\sqrt{5}a$，GC=$2\sqrt{2}a$，AG=$\sqrt{5}a$．
在△ACG中，cos∠ACG=$\frac{A{C}^{2}+C{G}^{2}-A{G}^{2}}{2AC•CG}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
∴异面直线AC与DE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了线面平面，转化为证明面面平行以及异面直线所成角的证明及计算．属于中档题．