Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为

3

4

π，
OB=2，设∠AOB=θ，θ∈(

π

2

，

3

4

π)
（1）用θ表示OA
（2）求

OA

•

OB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据直线AB的倾斜角求出∠BAO的度数，又∠AOB=θ，根据三角形的内角和定理表示出∠ABO，由OB的值，利用正弦定理即可得到θ表示的OA；
（2）先根据平面向量的数量积的运算法则表示出

OA

•

OB

，把

OA

和

OB

的模代入，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据θ的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象和单调性即可得到正弦函数的最小值，进而得到

OA

•

OB

的最小值．

解答：解：（1）在△ABC中，因为OB=2，∠BAO=

π

4

 ，∠ABO=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ，
由正弦定理得：

OB

sin π 4

=

OA

sin∠ABO

，即

2

2 2

=

OA

sin( 3π 4 -θ)

，
所以OA=2

2

sin(

3π

4

-θ)；
（2）由（1）得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cosθ=4

2

sin(

3π

4

-θ)•cosθ，
=2（sin2θ+cos2θ）+2=2

2

sin(2θ+

π

4

)+2，
因为θ∈(

π

2

，

3π

4

)，所以2θ+

π

4

∈(

5π

4

，

7π

4

)，
所以当2θ+

π

4

=

3π

2

，即θ=

5π

8

时，

OA

•

OB

的最小值为2-2

2

．（14分）

点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握平面向量的数量积的运算法则及正弦函数的图象与性质，是一道中档题．