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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,点在椭圆.

1)求椭圆的方程;

2)已知圆,连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点(异于左、右焦点),过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点均在轴上方).连接,记的斜率为的斜率为.

①求的值;

②求证:直线的交点在定直线上.

【答案】1;(2)①2,②证明见解析.

【解析】

1)根据焦距可得,再将点代入椭圆的方程,可得椭圆方程;

2)①设,代入椭圆方程计算可得,再得到,计算即可得结果;②直线的方程为,直线的方程为,消去可得结果.

1)设椭圆的焦距为,则

所以.

又因为在椭圆上,

所以

解得

所以椭圆的方程为.

2)①设,则,所以,即.

又因为均在轴上方,所以.

因为,所以.

②因为,所以直线的方程为,易得,所以直线的方程为,又因为直线的方程为

所以,解得.

所以直线的交点在轴上.

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普查对象类别

顺利

不顺利

合计

企事业单位

40

10

50

个体经营户

100

50

150

合计

140

60

200

(1)写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法;

(2)根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”;

(3)以频率作为概率, 某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位,3 家个体经营户作为普查对象,入户登记顺利的对象数记为, 写出的分布列,并求的期望值.

附:

0.10

0.010

0.001

2.706

6.635

10.88

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