⑴证明:函数 f ( x ) =在区间( 0,)上是单调递减的函数(已知在区间( 0,)上有sin x < x < tan x);
⑵证明:当0 < x <时,sin x >x;
⑶证明:当0 < x <时,sin x <?。
证明:⑴设0 < x 1 < x 2 <,则f ( x 1 ) f ( x 2 ) ==
=[ ( x 2 sin x 1 x 1 sin x 1 ) + ( x 1 sin x 1 x 1 sin x 2 ) ]
=[ ( x 2 x 1 ) sin x 1 x 1 ( sin x 2 sin x 1 ) ]
=[ ( x 2 x 1 ) sin x 1 x 1 ∙ 2 sincos](∵ 0 <<,x 2 x 1 > 0,sin x < x)
>[ ( x 2 x 1 ) sin x 1 x 1 ∙ 2 ∙cos] (∵ cos x在区间( 0,)上是减函数)
>[ sin x 1 x 1 cos] =( tan x 1 x 1 )(∵ x < tan x)> 0,
∴ 函数 f ( x ) =在区间( 0,)上是减函数;
⑵由⑴中所证,f ( x ) =在区间( 0,)上是减函数,特别有当0 < x <时,f ( x ) > f (),即>=,∴ 当0 < x <时,sin x >x;
⑶由于f ( x ) =在( 0,)上是减函数,∴ 当0 < x <时,f ( x ) > f (),即sin x >x,
令t = x,则x = t(0 < t <),代入上式得sin ( t ) >( t ),即cos t > 1 t,∴ 1 2 sin 2> 1 t,∴ sin 2<∙,即sin<∙(0 < t <),改记= x,有0 < x <,即得sin x <?。科目:高中数学 来源: 题型:
b | a |
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科目:高中数学 来源: 题型:
2-x | x+1 |
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