Question

17、设a∈R，函数f（x）=2x³+（6-3a）x²-12ax+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，把a=1代入导函数确定出导函数的解析式，然后把x=0代入导函数中求出值即为切线的斜率，把x=0代入
f（x）的解析式中求出切点的纵坐标f（0），然后根据求出的切点坐标和斜率写出切线的方程即可；
（Ⅱ）令导函数等于0求出此时x的值，然后分a大于等于2和a小于2大于-2两种情况，由x的值讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，由函数的增减性即可得到函数的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6[x²+（2-a）x-2a]=6（x+2）（x-a）．（3分）
当a=1时，f'（0）=-12，?f（0）=2，
所以切线方程为y-2=-12x，即12x+y-2=0．（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得：x₁=-2，x₂=a．
①a≥2，则当x∈（-2，2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（-2，2）上单调递减，
所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=42-36a．（8分）
②-2＜a＜2，则当x∈（-2，2）时，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以，当x=a时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（a）=-a³-6a²+2．（11分）
③a≤-2，则当x∈（-2，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（-2，2）上单调递增，
所以，当x=-2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（-2）=10+12a．（13分）
综上，当a≤-2时，f（x）的最小值为10+12a；当-2＜a＜2时，f（x）的最小值为-a³-6a²+2；
当a≥2时，f（x）的最小值为42-36a．（14分）

点评：此题考查会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点写出直线的方程，会利用导函数的正负判断函数的单调区间并根据函数的增减性得到函数的最值，是一道综合题．