Question

【题目】二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：

使用年数	2	4	6	8	10
售价	16	13	9.5	7	4.5

（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式： = ， =y﹣ ）
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知： ， ，

， ， ，

所求线性回归直线方程为

（2）解：L（x）=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣（0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2）=﹣0.01x3+0.09x2+1.5（0＜x≤10）

L′（x）=﹣0.03x2+0.18x=﹣0.03x（x﹣6）

x∈（0，6）时，L′（x）＞0，L（x）单调递增，x∈（6，10]时，L′（x）＜0，L（x）单调递减

所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大．

【解析】（1）由表中数据计算b，a，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数L（x）=y﹣w，利用导数求出x=6时L（x）取得最大值．