Question

已知定义域为R的函数f(x)=

b•2x+1

2x+1+a

是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解关于t不等式f（k•t²-t）+f（1-k•t）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，利用f（0）=0，f（-x）=-f（x）即可求出a、b的值．
（Ⅱ）利用函数f（x）奇偶性和单调性，将f（k•t²-t）+f（1-k•t）＜0
化为kt²-（1+k）t+1＞0．再对k讨论即可．

解答：解：（Ⅰ）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，f（-x）=-f（x）．
由f（0）=0，得b+1=0，∴b=-1，∴f（x）=

-2x+1

2x+1+a

．
由f（-x）=-f（x），得

-2-x+1

2-x+1+a

=-

-2x+1

2x+1+a

，解得a=2．
∴a=2，b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=

1

2x+1

-

1

2

．
∵y=2^x是R上的增函数，∴y=

1

2x+1

是R上的减函数，
∴函数f（x）是R上的减函数．
∵f（k•t²-t）+f（1-k•t）＜0，
∴f（kt²-t）＜-f（1-kt），
由函数f（x）是R上的奇函数得f（kt²-t）＜f（kt-1），
由函数f（x）是R上的减函数得kt²-t＞kt-1，即kt²-（1+k）t+1＞0．（⊕）
①若k=0时，则上述不等式变为-t+1＞0，解得t＜1，即其解集为{t|t＜1}．
②当k≠0时，△=（1+k）²-4k=（k-1）²≥0．
方程kt²-（1+k）t+1=0的根为x1，2=

(1+k)±(k-1)

2k

，即x₁=1，x2=

1

k

．
当k=1时，（⊕）变为t²-2t+1＞0，∴（t-1）²＞0，即t≠1，即（⊕）的解集为{t|t≠1}．
当k＞1时，

1

k

＜1，解得（⊕）的解集为{t|t＜

1

k

，或t＞1}；
当0＜k＜1时，

1

k

＞1，解得（⊕）的解集为{t|t＞

1

k

，或t＜1}；
当k＜0时，

1

k

＜1，解得（⊕）的解集为{t|

1

k

＜t＜1}．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性及解不等式，对k分类讨论是解决此题的关键．