Question

如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交．

已知：α∥β，l∩α＝A．

求证：l与β相交．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵α∥β，l∩α＝A 　　∴Aβ． 　　假设l与β不相交，则l∥β 　　在平面β内任取一点D，则Dl． 　　∴点D、l确定平面PBD，如图 　　∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC， 　　β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD． 　　又α∥β∴AC与BD无公共点． 　　∵AC和BD都在平面PBD内， 　　∴AC∥BD． 　　由l∥β可知l∥BD． 　　∴AC∥l且l与AC相交于A． 　　∴AC与l重合，又AC在平面α内． 　　∴l在α内与l∩α＝A矛盾． 　　∴假设不成立， 　　∴l与β必相交．