Question

已知点Q位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线L过点M（1，0）且交曲线C于
A、B两点（A、B不重合），点P满足，其中点E的坐标为（x，0），试求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出点Q，根据两点间的距离公式，依据题意建立等式求得x和y的关系式，整理可知点Q的轨迹抛物线的一部分．
（Ⅱ）设直线L的方程，及A，B的坐标，把直线和抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而建立不等式组，求得k的范围，进而根据可知，点P为线段AB的中点，P的坐标可知，由可知，EP⊥AB，分别表示出二者的斜率，其乘积为-1求得x的关于k的表达式，根据k的范围确定x的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设点Q（x，y）（x＞-3），
由题意有，
整理得y²=-4x，x∈（-3，0]
∴动点Q的轨迹C为以F（-1，0）为焦点，
坐标原点为顶点的抛物线在直线x=-3右侧的部分．

（Ⅱ）由题意可设直线L的方程为y=k（x-1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由，
得k²x²+（4-2k²）x+k²=0，
由题意解之得
由可知，点P为线段AB的中点，∴．
由可知，EP⊥AB，∴，
整理得，
∴x的取值范围是
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题时应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．