Question

19．数列{a_n}中，已知对任意自然数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）
• B． $\frac{1}{3}$（2ⁿ-1）
• C． 4ⁿ-1
• D． $\frac{1}{3}$（4ⁿ+8）

Answer 1

分析 由题意求得数列{a_n}通项公式，则{a_n²}是从第二项起4为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可求得答案．

解答 解：当n=1时，可得a₁=2¹=2，
当n≥2时，a_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_n-1）
=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
当n=1时上式不成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{当n=1}\\{{2}^{n-1}}&{当n≥2}\end{array}\right.$，
当n≥2，∴$\frac{{a}_{n+1}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{{2}^{2n}}{{2}^{2n-2}}$=4，
∴{a_n²}是从第二项起4为首项，4为公比的等比数列，
当n≥2时，a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=4+$\frac{4-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ+8）．
当n=1时，显然成立，
∴a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=$\frac{1}{3}$（4ⁿ+8）．
故选D．

点评 本题考查等比数列前n项和的应用，考查等比数列通项公式的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．