Question

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
（I）证明：PQ∥平面ACD；
（II）证明：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅲ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）连接DP，CQ，利用题设条件推导出PQ

∥

.

DC，由此能够证明PQ∥平面ACD．
（II）在△ABC中，由AC=BC=2，AQ=BQ，知CQ⊥AB，由DC⊥平面ABC，EB∥DC，知EB⊥平面ABC，由此能够证明平面ADE⊥平面ABE．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP⊥平面ABE，由直线AD在平面ABE内的射影是AP，知直线AD与平面ABE所成角是∠DAP，由此能求出AD与平面ABE所成角的正弦值．

解答： 解：（I）证明：连接DP，CQ，在△ABE中，
∵P，Q分别是AE，AB的中点，∴PQ

∥

.

1

2

BE，
∵EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∴PQ

∥

.

DC，
∵PQ?平面ACD，DC?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD．
（II）在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，
∴CQ⊥AB，
∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC，
∴EB⊥CQ，∴EB⊥平面ABC．
∴EB⊥CQ，∴CQ⊥平面ABE，
∵CQ∥DP，∴DP⊥平面ABE，
∵DP?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABE．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，
∴DP∥CQ，
∴DP⊥平面ABE，
∴直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是∠DAP
在Rt△APD中，AD=

AC2+DC2

=

22+12

=

5

，
DP=CQ=2sin∠CAQ=1，
∴sin∠DAP=

DP

AD

=

1

5

=

5

5

．
故AD与平面ABE所成角的正弦值为

5

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法．解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意空间思维能力和推理能力的培养．