Question

9．半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O旋转时，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范围是（　　）

• A． [1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]
• B． [-1$-\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$$+\sqrt{2}$]
• D． [$-\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$-\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 法一、以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（-1，-1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（-cosθ，-sinθ），F（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$）），0≤θ＜2π，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．
法二、运用向量的加法和数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答 解法一：以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，
可得A（-1，-1），
设OE与Ox的反向延长线成θ角，
即有E（-cosθ，-sinθ），F（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$）），
0≤θ＜2π，
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$=（1-cosθ，1-sinθ）•（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$））
=cosθcos（θ+$\frac{π}{3}$）+sinθsin（θ+$\frac{π}{3}$）-（cos（θ+$\frac{π}{3}$）+sin（θ+$\frac{π}{3}$））
=cos$\frac{π}{3}$-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{7π}{12}$），
当sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=1，即θ=$\frac{23π}{12}$时，取得最小值$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$；
当sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=-1，即θ=$\frac{11π}{12}$时，取得最大值$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．
即有$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
法二、$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$）•$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$，
而$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OF}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{OF}$|cosθ=$\sqrt{2}$cosθ，
则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．