Question

2．数列{a_n}中，a₁=$\frac{5}{2}$，a_n=3-$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若数列{c_n}满足：c_n=nb_n，求数列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时通过计算化简可知b_n-b_n-1=1，当n=1时代入计算可知b₁=2，进而可得结论；
（2）通过b_n=n+1，裂项可知$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即可．

解答 （1）证明：当n≥2时，b_n-b_n-1=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$
=$\frac{1}{（3-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}）-2}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$
=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}-2}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-2}$
=1；
当n=1时，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=$\frac{1}{\frac{5}{2}-2}$=2，
∴数列{b_n}是首项b₁=2、公差为1的等差数列；
（2）解：由（1）得b_n=n+1，
∴c_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的判断、数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．