Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，

m

=(sinA，

1

2

)，

n

=(3，sinA+

3

cosA)若

m

，

m

共线，请按以下要求作答：
（1）求角A的大小；
（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算与辅助角公式可求得sin（2A-

π

6

）=1，A∈（0，π），从而可求得A；
（2）利用余弦定理与基本不等式即可判断△ABC的形状．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

，
∴sinA•（sinA+

3

cosA）-

3

2

=0．
∴

1-cos2A

2

+

3

2

sin2A-

3

2

=0，即

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=1，即sin（2A-

π

6

）=1，
∵A∈（0，π），
∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

．
（2）由余弦定理得：4=b²+c²-bc，又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，
而b²+c²≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

×4=

3

．
当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=

π

3

，
∴此时△ABC为等边三角形．

点评：本题考查三角形的形状判断，考查平面向量数量积的坐标表示与应用，考查辅助角公式与基本不等式的综合应用，属于中档题．