Question

已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）讨论f（x）的奇偶性与单调性；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域，再验证f（-x）与f（x）的关系，可得函数为奇函数；利用导数，结合分类讨论，可得函数的单调性；
（2）根据不等式的解集与方程解的关系，建立等式，从而可求a的值．

解答：解：（1）∵

1+x＞0 1-x＞0

，∴f（x）定义域为x∈（-1，1）
∵f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）
∴f（x）为奇函数；
∵f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），
∴f(x)=loga

1+x

1-x

，
求导得f′(x)=

1-x

1+x

•logae•(

1+x

1-x

)′=

2

1-x2

logae，
①当a＞1时，f'（x）＞0，∴f（x）在定义域内为增函数；
②当0＜a＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）在定义域内为减函数；
（2）①当a＞1时，∵f（x）在定义域内为增函数且为奇函数，不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}
∴f(

1

2

)=2，∴log_a3=2，∴a=

3

；
②当0＜a＜1时，
∵f（x）在定义域内为减函数且为奇函数，不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}
∴f(-

1

2

)=2，∴loga

1

3

=2，∴a=

3

3

．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．