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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的公共点为.

求直线的斜率;

Ⅱ)若点分别为曲线上的动点,当取最大值时,求四边形的面积.

【答案】)2;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)消去参数α得曲线C1的普通方程,将曲线C2化为直角坐标方程,两式作差得直线AB的方程,则直线AB的斜率可求;

Ⅱ)由C1方程可知曲线是以C1(0,1)为圆心,半径为1的圆,由C2方程可知曲线是以C2(2,0)为圆心,半径为2的圆,又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|,可知当|CD|取最大值时,圆心C1,C2在直线AB上,进一步求出直线CD(即直线C1C2)的方程,再求出O到直线CD的距离,则四边形ACBD的面积可求.

Ⅰ)消去参数α得曲线C1的普通方程C1:x2+y2﹣2y=0.…(1)

将曲线C2:ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0.…(2)

由(1)﹣(2)化简得y=2x,即为直线AB的方程,故直线AB的斜率为2;

Ⅱ)由C1:x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1(0,1)为圆心,半径为1的圆,

C2:x2+y2﹣4x=0知曲线C2:是以C2(2,0)为圆心,半径为2的圆.

∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|

∴当|CD|取最大值时,圆心C1,C2在直线CD上,

∴直线CD(即直线C1C2)的方程为:2x+y=2.

O到直线CD的距离为即|AB|=

又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+

∴四边形ACBD的面积

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