【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线,的公共点为.
(Ⅰ)求直线的斜率;
(Ⅱ)若点分别为曲线,上的动点,当取最大值时,求四边形的面积.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)消去参数α得曲线C1的普通方程,将曲线C2化为直角坐标方程,两式作差得直线AB的方程,则直线AB的斜率可求;
(Ⅱ)由C1方程可知曲线是以C1(0,1)为圆心,半径为1的圆,由C2方程可知曲线是以C2(2,0)为圆心,半径为2的圆,又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|,可知当|CD|取最大值时,圆心C1,C2在直线AB上,进一步求出直线CD(即直线C1C2)的方程,再求出O到直线CD的距离,则四边形ACBD的面积可求.
(Ⅰ)消去参数α得曲线C1的普通方程C1:x2+y2﹣2y=0.…(1)
将曲线C2:ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0.…(2)
由(1)﹣(2)化简得y=2x,即为直线AB的方程,故直线AB的斜率为2;
(Ⅱ)由C1:x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1(0,1)为圆心,半径为1的圆,
由C2:x2+y2﹣4x=0知曲线C2:是以C2(2,0)为圆心,半径为2的圆.
∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|,
∴当|CD|取最大值时,圆心C1,C2在直线CD上,
∴直线CD(即直线C1C2)的方程为:2x+y=2.
∵O到直线CD的距离为,即|AB|=
又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+,
∴四边形ACBD的面积.
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【题目】已知二次函数的图象过点,且与轴有唯一的交点.
(1)求的表达式;
(2)设函数,若上是单调函数,求实数的取值范围;
(3)设函数,记此函数的最小值为,求的解析式.
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【题目】第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办,近日首批影展片单揭晓,《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 _____.
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【题目】已知一个口袋有个白球,个黑球,这些球除颜色外全部相同,现将口袋中的球随机逐个取出,并依次放入编号为,,,的抽屉内.
(1)求编号为的抽屉内放黑球的概率;
(2)口袋中的球放入抽屉后,随机取出两个抽屉中的球,求取出的两个球是一黑一白的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,点,直线:,圆:.
(1)求的取值范围,并求出圆心坐标;
(2)若圆的半径为1,过点作圆的切线,求切线的方程;
(3)有一动圆的半径为1,圆心在上,若动圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
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【题目】经统计分析,我市城区某拥挤路段的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当该路段的车流密度达到180辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为40千米/小时;当时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当时,求函数的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,该拥挤路段车流量(单位时间内通过该路段某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时).
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