Question

【题目】已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）当时，恒成立，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是.(2)-e.

【解析】试题分析：（1）由题意，利用导数法进行讨论，由可求出函数的增区间，可求出函数的减区间，同时对参数进行分段讨论，从而问题即可得解；（2）由题意，可构造函数，由此可将问题转化为计算，再根据导数进行运算求解，从而问题可得解.

试题解析：（1）由题知，函数的定义域是.

，

当时，对任意恒成立，

所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，令，得；

令，得；

所以函数的单调递增区间是，

单调递减区间是.

（2）当时，恒成立，

即为恒成立，

即为恒成立.

设，

则.

显然在区间上单调递增，且，

所以当时，；当时，；

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以，

解得.

即实数的最小值是.